Hay números muy, muy grandes. El que os traemos hoy es más que un trillón, más que un gúgol, más que un googolduplex. Y no hablamos del infinito. Tampoco del gargantuesco número de Graham.
El número del que vamos a hablar es tan grande que no se puede escribir directamente porque el universo no es suficiente grande. Es un número que va más allá de lo que las leyes físicas pueden describir. Un número tan grande que la naturaleza no puede encajar su existencia. Y sin embargo, las matemáticas permiten definirlo como un número finito.
La inconmensurable inmensidad de TREE(3)
TREE(3) es un número finito. Pero también es una creación matemática cuyo alcance va más allá de los límites físicos. Es un bonito ejemplo de cómo las matemáticas sirven para describir la realidad, pero la naturaleza no siempre encuentra representación para todos los entes matemáticos.
El profesor de física y matemáticas de la Universidad de Nottingham, Antonio Padilla, explica en su excelente canal Numberphile, cómo funciona este número. "Nada es comparable con TREE(3)", explica Padilla. Aquí os dejamos el vídeo original para quienes deseen escuchar la explicación directamente del profesor.
"Es un número que aparece fácilmente con solo jugar un juego matemático simple. Sin embargo, es tan colosalmente grande que no podría caber en nuestro universo", describe el profesor. Pero, ¿de dónde surge este número? Como su nombre indica (árbol), el juego matemático se basa en la teoría de grafos.
El objetivo del juego es hacer un bosque de árboles, usando semillas. Es decir, construir ramificaciones en base a diferentes colores, que representan las semillas. El resultado de TREE(3) es tan grande que no sabemos ni siquiera cuántos dígitos tiene, pero sí se ha demostrado matemáticamente que por definición tiene un tamaño autoconcluido y por ende finito.
Empezamos con semillas, tipologías o colores. Y tenemos dos reglas. La primera es que el primer árbol solo puede tener una semilla; el segundo un máximo de dos semillas, el tercer árbol un máximo de tres, el cuarto un máximo de cuatro y así sucesivamente. Esta es la regla de creación.
La segunda regla es la de conclusión. Cuando uno de estos árboles creados contiene un árbol que ya se había hecho antes, el bosque finaliza y se acaba el número. Dicho de otro modo; si se repite una forma previa, ya no se puede seguir. Si nos fijamos en la siguiente imagen veremos un ejemplo de repetición, pues los puntos verdes, negros y rojos son iguales y en la misma orientación.
Imagen: Towards Data Science
El número TREE se crea básicamente siguiente estas dos normas escritas. Y aquí es donde aparece la belleza del juego. Para entender cómo crece el número, empecemos por TREE(1), donde hay únicamente una semilla, representada por el punto verde. Al hacer el primer árbol, vemos que el resultado es justo igual que el original y por tanto el número termina con el primer paso. ¿Resultado? Básicamente que TREE(1) = 1.
En el caso de TREE(1) el número se termina pronto, ya que al primer paso se repite la forma. Imagen: Numberphile
Sigamos con TREE(2). Aquí tenemos dos semillas, que pueden estar representadas por un punto rojo y otro verde, por ejemplo. Empiezas con un punto verde como antes, luego construyes un árbol con dos puntos rojos. Como no tiene ningún punto verde, este árbol es válido y el juego continúa. Si en el tercer paso añadimos un punto verde estaríamos ya repitiendo. Pero sí hay una opción y es la de poner solo un punto rojo. La regla dice que el tercer árbol puede tener un máximo de tres semillas, pero también se permiten menos. Por tanto el punto rojo es válido. Y aquí es donde se terminan las posibilidades. ¿Resultado? TREE(2) = 3.
TREE(2) también se termina bastante pronto, en solo tres pasos. Imagen: Numberphile
Y aquí es donde aparece la magia. Mientras TREE(1) y TREE(2) se terminan muy rápido. El juego con TREE(3), es decir con tres puntos de colores, es enorme. Colosal. Inabarcable. Podríamos tirarnos toda una vida haciendo combinaciones que no terminaríamos.
La mera incorporación de una tercera semilla permite que podamos seguir creando árboles casi sin fin. "Es mucho más grande que cualquier cosa que puedas comenzar a imaginar en la física", explica Padilla. ¿Cuán grande? Inimaginable. Ni siquiera aunque creáramos un nuevo árbol en un tiempo de Planck y tuviéramos la edad del universo nos daría tiempo para alcanzar el final, apunta el profesor.
Con dos sencillas reglas matemáticas se ha creado un concepto que aparentemente no tiene fin, pero donde se ha demostrado matemáticamente que no estamos ante un número infinito. Al fin y al cabo es un concepto bien definido y las matemáticas apuntan a que eventualmente se acaba encontrando un árbol que contenga un árbol previo.
Con TREE(3) es donde las combinaciones alcanzan límites insospechados. Imagen: Complex Projective 4-Space
TREE(3) es tan grande que en comparación incluso el número de Graham es prácticamente cero. Aunque quizás lo más llamativo de este juego matemático es el enorme salto que hay de TREE(2) a TREE(3).
El matemático Joseph Kruskal planteó el teorema de que cualquier TREE(n) acaba resultando en un número finito. Es decir, aunque utilizáramos cinco colores (TREE(5), el resultado sería un número no infinito. El único problema es que es tan grande que ni en toda la vida del universo podríamos alcanzarlo. Se trata de un ente matemático que va más allá de la propia concepción física. Un ente que muestra cómo las matemáticas sirven para describir la realidad, pero en ocasiones hay conceptos que no tienen porqué tener representación.
Este curioso número matemático recuerda a una de las reflexiones del genial físico Richard Feynman en sus clases:
"Desde nuestro punto de vista, las matemáticas no son ciencia, porque la prueba de su validez no se encuentra en el experimento. Ahora bien, aclaremos que si decimos que algo no es ciencia, no estamos diciendo que tenga algún problema; el amor tampoco es una ciencia".
Imagen | Nick Nice
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