Una noticia ha llamado la atención de muchos hoy, la de que en un espacio de 48 horas dos sorteos de la Bonoloto han logrado resultados casi idénticos. Nos hemos propuesto celebrar el día de Pi respondiendo a una pregunta: ¿Qué probabilidades había?
El primero de los sorteos se realizó el 9 de marzo y los números agraciados fueron 8, 21, 23, 40, 43 y 47; el complementario fue el 26 y el reintegro el 7. El 11 de marzo la secuencia de números premiados fue 8, 21, 23, 28 40, y 47; con idénticos complementario y reintegro.
Primero, observemos cuál es la dinámica del juego en su modalidad básica. En un sorteo de la bonoloto se extraen seis bolas numeradas de entre 49. El “premio gordo” se lo lleva la persona que acierta estos seis números. Además, un sorteo incluye un complementario, una especie de segunda oportunidad si alguien se queda en los cinco aciertos, y un reintegro (este de un segundo bombo con 10 cifras).
Según Loterías y Apuestas del Estado, la probabilidad de acertar los seis números es de una entre 13.983.816, y la posibilidad de acertar cinco números y el complementario es de una entre 2.330.636. Pero esta no es la probabilidad que buscamos.
Vamos por partes, bola a bola. La probabilidad de que la primera bola de un sorteo se repita es de 6/49. El motivo es que tenemos 49 bolas y 6 de ellas están en la combinación anterior. Si volvemos a sacar una bola tendremos ya solo cinco números a acertar de entre 48 bolas en el bombo, es decir, la probabilidad de acertar esta vez será de 5/48.
Si queremos considerar la probabilidad de dos eventos no relacionados lo que debemos hacer es multiplicar sus probabilidades. Así, la probabilidad de repetir dos números entre un sorteo y otro es de 6/49 multiplicado por 5/48, que es igual a 30/2352 o, simplificando, 5/392. La sucesión se repite cinco veces (ambos sorteos tuvieron cinco números idénticos), por lo que repetimos este procedimiento.
La probabilidad de repetir cinco números en dos sorteos es igual a 720 entre 228.826.080, o lo que es lo mismo una entre 317.814. Aquí tenemos que considerar dos posibilidades. Una, que queramos estimar la posibilidad de, estrictamente, cinco aciertos y un fallo. Para ello deberíamos multiplicar el resultado por 43/44, la probabilidad del fallo. Por simplificar (y porque la diferencia es pequeña) vamos a considerar también la probabilidad de que ésta última cifra pudiera acertarse y quedarnos con la probabilidad anterior.
Ahora nos queda el acierto del complementario y el reintegro. El complementario se extrae del mismo bombo que las cifras anteriores, en el que ya sólo quedan 43 bolas, por lo que la probabilidad de acierto es de 1/43. Multiplicada por la probabilidad anterior nos da una entre 13.666.002.
Para obtener el resultado sólo tenemos que multiplicar por la probabilidad de que el reintegro también salga (1/10), para obtener un resultado de una probabilidad entre 136.660.020. Esta es la posibilidad de que dos sorteos de la Bonoloto repitan (al menos) cinco números más complementario y reintegro.
Aún queda un detalle, y es que el resultado no se repitió inmediatamente sino a las 48 horas, es decir, con otro sorteo de por medio. Esto implica que tenemos dos posibilidades para repetir nuestro experimento. Esta vez multiplicamos por dos el resultado anterior para obrener una aproximación a la probabilidad real del evento. Esto nos deja con una posibilidad entre 68.330.010 como resultado final (aproximado).
No tan sorprendente
Los humanos estamos programados para ver patrones. Es por eso que, aunque todos los números tengan la misma posibilidad de tocar, nos fijemos siempre en aquellos que puedan tener un significado concreto o se ajusten a alguna narrativa, un patrón.
There's some heated discussion in Spain because in a span of two days, two of the winning lottery tickets were almost identical. Why is this a thing? Because it's ~surprising~ https://t.co/EFfcl7KNUF pic.twitter.com/42ZdR6cgoF
— Octavio Medina (@octavio_medina) March 14, 2023
La probabilidad de que aparezca un número que corresponda a una narrativa concreta es pequeña, pero si sumamos todos estos posibles patrones es relativamente fácil que de vez en cuando nos topemos con estas circunstancias.
Esta búsqueda de patrones es algo esencial al humano y una de sus caras más conocidas no está en los números sino en los rostros. En estos casos solemos hablar de pareidolias. Cuando estas aparecen a menudo nuestra mente corre también hacia narrativas como alienígenas o viajeros en el tiempo, pero todos estos fenómenos suelen acabar teniendo una explicación de esas que llamamos “racionales”. A veces la realidad acaba superando a la ficción, pero los grandes descubrimientos requieren pruebas más sólidas.
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Imagen | Alejandro Garay
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